今年（2018 年）下半年，在和团队其他成员合作时往往感觉到大家的认知方法有较大的差异——在研究一个问题时，我更倾向于从系统的角度比较形式化（formal）、泛化（generic）地进行；而大多数人似乎更热衷于用例子去理解问题。

证明（Proof）

这里的证明是指，在研究一个问题时，采用类似数学系统的证明体系——无论是形式化还是非形式化的。基本的方法是，首先给出被所有人接受的几条关于问题的公理，然后在问题的上下文有逻辑地一步步推演，最终得到想要证明的结论。

这里的证明多是工程系统相关的，和纯数学证明有些不同，一般要带入大量的关于系统的约束。也可将这些约束看做是公理或定理。在论证过程中，每一步得到的结论，都可以看作是关于系统的定理。

在我们想要的是最终的定理之外，证明过程还得到了描述系统某方面的特性的定理。这是非常美妙的事情。当在系统中不断地证明时，新旧结论交织，这对深度理解系统大有裨益。融会贯通说的就是这样的体验。

示例（Example）

示例是指，在研究一个问题时，用某一个具体的示例来讨论。这实际上是说，给定系统一个特定的输入，研究该输入在系统中流动的过程、状态的转换，最后得到系统的输出。

二者的关系

在我的认知中，研究问题的本质应当是证明，示例只是用于帮助理解证明的。这个认知背后的逻辑是，研究的目标是理解系统。而大多数人采用的示例方法，更关注的是，系统对于给定输入的输出。即，大家的目的不同。然而，很多时候，实际上我们需要的是去理解系统，而不是得到特定的输出就认为系统是个什么样子。

在数学的论证体系中，其实也有示例的一席之地——归纳法。但归纳法的区别于常规示例的特别之处是，它尝试描述系统对输入的一种规律。另一种示例用于论证的方法是枚举系统对所有输入的反馈——即穷举法。

在实践中，归纳法由于要求问题满足「可数」、「无穷」的特性往往无法应用，而穷举法应用于复杂系统几乎是不可能的。我们通常看到的示例往往陷入「个案分析」，但却只有「个案」，没有分析推广——这是指只描述了系统在特定输入下的输出，没有揭示系统相关特征的全貌。有限的例子（由于懒惰往往只会举一个例子）只能一窥系统，这会让受众以为系统只有这一类情况，从而出现理解偏差。

证明是理论，示例是理论的一个表现、应用。示例在两种情况下是有重要作用的，一是帮助人们更直观地理解系统，二是反证。不言而喻。

尽管在研究问题时要尽量采用证明的方法，但在尝试说服他人时，更重要的是示例。这是心理学的结论——更生动具体的说明往往更容易让人相信。而且，相当数量的人甚至反对他人用证明和逻辑的方法来描述问题。

对二者的举例

下面举个最简单的例子——乘法——来帮助大家理解这些问题。

乘法的形式化定义是「加法的连续运算，同一数的若干次连加」。一同给出的可能有公式 \(a \times b=\sum_{1}^{b}{a} = \underbrace{a + a + a + \cdots + a}_{b}\) 。理解这个说明后就知道，只要掌握了加法，就可以掌握乘法。最多再举个例子，将公式中的 \(a\) 和 \(b\) 实例化成具体的数值。

示例则不然，因为示例关注的是输出。示例可能会列出 \(2 \times 4 = 4 + 4 = 8\) 、\(3 \times 5 = 5 + 5 + 5 =15\) ，然后就结束了。举例人认为已经说明了什么是乘法（这就是大多数人的现状）。

方法、人、文化

这一节要胡言乱语了。

我开始觉得人的这种认知方式可能是无法改变的，并不是之前认为的「滥用示例是理智的懒惰」。我对自己所经历的事件记性非常差，细节很难记住。例如以往看过的电影几乎无法列出相关的情节。对于事件，我善于记忆的是其中的结构、思想，而不是具体的细节。但很多人则是相反的，他们可能更多的是会记住很多生活的细节经历。不清楚这是否是人成长过程中所形成的特定属性。

前面提过，证明的方法偏理论，示例的方法偏应用。这似乎和西方、东方文化也有关联——西方的科学系统基于推理论证，而东方偏重实践应用。看看吧，即使是前两年吹破天的「新四大发明」也全部都是应用（四大发明也是应用），这和千年天朝的实用主义不无关系。现在深度怀疑科学的中心是否会东移。

曾经和大师讨论过不同的工作风格的问题，因为感觉自己的风格和大家不太一样，其实和本篇有些关联。大师说，这就像武侠小说中不同的剑法流派，有人是气宗，有人是剑宗，而我是气宗。

这其实是清谈，最终输出工程价值才是商业公司的目标。